投资回报率、边际投资回报率和响应曲线

增量效果

对于给定的媒体渠道 \(q\)，增量效果定义为：

\[\text{IncrementalOutcome}_q = \text{IncrementalOutcome} \left(\Bigl\{ x_{g,t,i}^{[M]} \Bigr\}, \Bigl\{ x_{g,t,i}^{[M](0,q)} \Bigr\} \right)\]

其中：

• \(\left\{ x_{g,t,i}^{[M]} \right\}\) 是观测到的媒体值
• \(\left\{ x_{g,t,i}^{[M] (0,q)} \right\}\) 表示所有渠道的观测媒体值，但渠道 \(q\)除外（该渠道在所有位置的观测媒体值均设置为零）。更具体地说：
  • \(x_{g,t,q}^{[M] (0,q)}=0\ \forall\ g,t\)
  • \(x_{g,t,i}^{[M](0,q)}=x_{g,t,i}^{[M]}\ \forall\ g,t,i \neq q\)

投资回报率

渠道 \(q\) 的投资回报率定义为：

\[\text{ROI}_q = \dfrac{\text{IncrementalOutcome}_q}{\text{Cost}_q}\]

其中， \(\text{Cost}_q= \sum\limits _{g,t} \overset \sim x^{[M]}_{g,t,q}\)

请注意，投资回报率的分母表示特定时间段内的媒体费用，该时间段与定义增量效果的时间段一致。因此，分子中的增量效果包括在此时间窗口之前执行的媒体的滞后效应，同样，也不包括在此时间窗口期间执行的媒体的未来效应。这样一来，分子中的增量效果与分母中的费用并不完全一致。不过，从相对较长的时间窗口来看，这种不一致就不那么明显了。

需要注意的是，反事实媒体情景 (\(\left\{ x_{g,t,i}^{[M](0,q)} \right\}\)) 可能实际上并没有在数据中体现出来。在这种情况下，有必要根据模型假设进行外推，以推理出反事实情景。

响应曲线

根据增量效果的定义，渠道 \(q\) 的响应曲线被定义为一个函数，该函数以渠道 \(q\)支出函数的形式返回增量效果：

\[\text{IncrementalOutcome}_q (\omega \cdot \text{Cost}_q) = \text{IncrementalOutcome} \left(\left\{ x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i} \right\}, \left\{ x^{[M](0,q)}_{g,t,i} \right\}\right)\]

其中， \(\left\{ x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i} \right\}\) 表示所有渠道的观测媒体值，但渠道 \(q\)除外（该渠道在所有位置的观测媒体值均需乘以系数 \(\omega\) ）。更具体地说：

• \(x^{[M](\omega,q)}_{g,t,q}=\omega \cdot x^{[M]}_{g,t,q}\ \forall\ g,t\)
• \(x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i}=x^{[M]}_{g,t,i} \forall\ g,t,i \neq q\)

边际投资回报率 (mROI)

渠道 \(q\) 的边际投资回报率 (mROI) 定义为：

其中， \(\delta\) 是一个较小的量，例如 \(0.01\)。

请注意，响应曲线和边际投资回报率的定义隐含了一个假设，即每个媒体单位的费用保持不变，始终等于每个媒体单位的历史平均费用。