扩展到具有覆盖面和频次的模型

前面部分中所述的定义可以扩展，以用于具有覆盖面和频次数据的渠道。更笼统地说，潜在结果可以写成 \( \overset \sim Y_{g,t}^{ \left( \left\{ x_{g,t,i}^{(\ast)} \right\}, \left\{ r_{g,t,i}^{(\ast)} \right\}, \left\{ f_{g,t,i}^{(\ast)} \right\} \right) } \)

具有覆盖面和频次数据的 \(q^{th}\) 渠道的增量效果定义如下：

其中， \(r^{(0)}_{g,t,i}\) 表示所有渠道的观测覆盖面值，但渠道 \(q\)除外（该渠道在所有位置的观测覆盖面值均设置为零）。更具体地说：

• \(r^{(0,q)}_{g,t,q} = 0\ \forall\ g,t\)
• \(r^{(0,q)}_{g,t,i} = r_{g,t,i}\ \forall\ g,t,i \neq q\)

请注意，覆盖面值为零时，频次反事实值并不重要；无论后者为何，增量效果都应为零。在本定义中，将这些值任意设置为历史值。

具有覆盖面和频次数据的 \(q^{th}\) 渠道的投资回报率定义如下：

\[\text{ROI}^{[RF]}_q = \dfrac{\text{IncrementalOutcome}^{[RF]}_q}{\text{Cost}^ {[RF]}_q}\]

其中 \(\text{Cost}^{[RF]}_q=\sum\limits_{g,t} \overset \sim r_{g,t,q}\)。

请注意，在定义响应曲线时，可以通过多种方式对具有覆盖面和频次数据的渠道缩放支出。对于任何给定的支出水平，都可以通过任意数量的覆盖面和频次组合来达到该支出水平。Meridian 主要关注两类响应曲线：

• 覆盖面响应曲线，其中覆盖面按比例缩放，频次设置为每个地理位置和时间段的历史值且保持不变。

• 频次响应曲线，其中频次按比例缩放，覆盖面设置为每个地理位置和时间段的历史值且保持不变。

覆盖面响应曲线定义为以下函数：

其中， \(r_{g,t,i}^{(\omega,q)}\) 表示所有渠道的观测覆盖面值，但渠道 \(q\)除外（该渠道在所有位置的观测覆盖面值均需乘以系数 \(\omega\) ）。更具体地说：

• \(r_{g,t,q}^{(\omega,q)}=\omega \cdot r_{g,t,q}\ \forall\ g,t\)
• \(r_{g,t,i}^{(\omega,q)}=r_{g,t,i}\ \forall\ g,t,i \neq q\)

频次响应曲线定义为以下函数：

其中， \(f_{g,t,i}^{(\omega,q)}\) 表示所有渠道的观测频次值，但渠道 \(q\)除外（该渠道在所有位置的观测频次值均需乘以系数 \(\omega\) ）。更具体地说：

• \(f_{g,t,q}^{(\omega,q)}=\omega \cdot f_{g,t,q}\ \forall\ g,t\)
• \(f_{g,t,i}^{(\omega,q)}=f_{g,t,i}\ \forall\ g,t,i \neq q\)

请注意，如果 \(\omega < \dfrac{1}{min_{g,t} f_{g,t}}\)，对于某些 \(g,t\)组合，反事实频次 \(\omega \cdot f_{g,t,q}\) 将小于 1。虽然平均频次值不可能小于 1，但 Meridian 的模型规范允许针对此类不太可能出现的值估计增量效果。在解读 \(\omega\)值如此小的响应曲线时务必要小心谨慎。