媒体执行对 KPI 的影响受两种机制调控：滞后效应和饱和效应。滞后效应是指媒体渠道对 KPI 的影响具有滞后效应，随着时间的推移会慢慢减弱。饱和效应是指随着媒体执行的增加，边际回报递减。
Adstock 函数
Meridian 的模型架构旨在通过 Adstock 函数来捕捉滞后效应。
在 Adstock 函数中，时间 \(t\) 的累积媒体效应是时间 \(t, t-1, ..., t-L\) 的媒体执行的加权平均值，权重由权重函数 \(w(s; \alpha)\)确定。其中， \(L\) 是滞后效应的最大时长。
Meridian 为 Adstock 函数提供两个权重函数\(w(s; \alpha)\)：geometric 和 binomial。如需详细了解这些函数，请参阅设置 adstock_decay_spec 形参。如需详细了解 Adstock 函数，请参阅“A Hierarchical Bayesian Approach to Improve Media Mix Models Using Category Data”（使用类别数据改进媒体组合模型的分层贝叶斯方法）和“Bayesian Methods for Media Mix Modeling with Carryover and Shape Effects”（利用延滞效应和形状效应进行媒体组合建模的贝叶斯方法）。
Adstock 函数的定义如下：
其中：
\(w(s; \alpha) \) 是衰减函数
\(x_s \geq 0\) 是时间 \(s\)的媒体执行
\(\alpha\ \in\ [0, 1]\) 是衰减形参
\(L\) 是最大滞后时长。
Hill 函数
Meridian 的模型架构旨在通过 Hill 函数来捕捉饱和效应。
不难理解，在任何给定时间段内，随着在给定媒体渠道的支出不断增加，最终会看到边际回报递减，例如达到饱和。Meridian 通过一个双形参函数（名为“Hill 函数”）来将这种饱和效应纳入到模型中。
Hill 函数的定义如下：
其中：
\(x \geq 0\)
\(ec > 0\) 是半饱和点，这意味着 \(\text{Hill}(x=ec; ec, \text{slope}) = 0.5\)
\(\text{slope} > 0\) 是一个形参，用于控制函数形状：
- \(\text{slope} \leq 1\) 对应于凹形
- \(\text{slope} > 1\) 对应于 S 形函数，当 \( x < ec \) 时为凸函数，当 \( x > ec \)时为凹函数。
重要提示：Hill 函数形参的模型估计值基于观测到的媒体数据范围。拟合的响应曲线可外推至此范围之外，但在解读基于外推的结果时应保持适当的谨慎。
Hill 函数可以在 Adstock 转换之前或之后应用，具体取决于 ModelSpec 的布尔值 hill_before_adstock 实参。默认设置为 hill_before_adstock = False，这会使渠道 \(m\) 在地理位置 \(g\) 和时间段 \(t\)的媒体效应等于 \(\beta_{g,m} \text{Hill}(\text{Adstock}(x_t,x_{t-1},\cdots,x_{t-L};\
\alpha_m) ;ec_m, \text{slope}_m)\)。