ROI, mROI e curvas de resposta

Resultado incremental

Para um determinado canal de mídia \(q\), o resultado incremental é definido como:

\[\text{IncrementalOutcome}_q = \text{IncrementalOutcome} \left(\Bigl\{ x_{g,t,i}^{[M]} \Bigr\}, \Bigl\{ x_{g,t,i}^{[M](0,q)} \Bigr\} \right)\]

Em que:

• \(\left\{ x_{g,t,i}^{[M]} \right\}\) são os valores de mídia observados.
• \(\left\{ x_{g,t,i}^{[M] (0,q)} \right\}\) indica os valores de mídia observados para todos os canais, exceto \(q\), que é sempre definido como zero. Mais especificamente:
  • \(x_{g,t,q}^{[M] (0,q)}=0\ \forall\ g,t\)
  • \(x_{g,t,i}^{[M](0,q)}=x_{g,t,i}^{[M]}\ \forall\ g,t,i \neq q\)

ROI

O ROI do canal \(q\) é definido como:

\[\text{ROI}_q = \dfrac{\text{IncrementalOutcome}_q}{\text{Cost}_q}\]

Em que \(\text{Cost}_q= \sum\limits _{g,t} \overset \sim x^{[M]}_{g,t,q}\)

O denominador do ROI representa o custo de mídia em um período especificado que está alinhado com o período em que o resultado incremental é definido. Assim, o resultado incremental no numerador inclui o efeito defasado da mídia executada antes dessa janela temporal e exclui o efeito futuro da mídia executada durante a janela. Portanto, o resultado incremental no numerador não está totalmente alinhado com o custo no denominador. No entanto, esse desalinhamento será menos significativo em um período razoavelmente longo.

O cenário de mídia contrafactual (\(\left\{ x_{g,t,i}^{[M](0,q)} \right\}\)) talvez não seja representado nos dados. Quando isso acontece, é necessário extrapolar os pressupostos do modelo para inferir o contrafactual.

Curvas de resposta

Generalizando a definição de resultado incremental, a curva de resposta do canal \(q\) é uma função que retorna o resultado incremental como uma função do gasto no canal \(q\):

\[\text{IncrementalOutcome}_q (\omega \cdot \text{Cost}_q) = \text{IncrementalOutcome} \left(\left\{ x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i} \right\}, \left\{ x^{[M](0,q)}_{g,t,i} \right\}\right)\]

Em que \(\left\{ x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i} \right\}\) indica os valores de mídia observados para todos os canais, exceto \(q\), que é sempre multiplicado por um fator de \(\omega\) . Mais especificamente:

• \(x^{[M](\omega,q)}_{g,t,q}=\omega \cdot x^{[M]}_{g,t,q}\ \forall\ g,t\)
• \(x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i}=x^{[M]}_{g,t,i} \forall\ g,t,i \neq q\)

ROI marginal (mROI)

O ROI marginal (mROI) do canal \(q\) é definido como:

Em que \(\delta\) é uma quantidade pequena, como \(0.01\).

As definições de curva de resposta e ROI marginal pressupõem implicitamente um custo constante por unidade de mídia que é igual à média histórica do custo por unidade de mídia.